高数交错级数敛散性问题! 求详细过程!
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解:分享一种解法。
∵n→∞时,1/√n→0,∴1-cos(1/√n)~1-[1-(1/2)(1/√n)²]=(1/2)/n。
∴级数∑[(-1)^n][1-cos(1/√n)]与级数∑[(-1)^n](1/2)/n有相同的敛散性。
而,∑[(-1)^n](1/2)/n=(1/2)∑[(-1)^n]/n,是交错级数,满足莱布尼兹判别法的条件,收敛。
但,∑1/n是p=1的p-级数,发散。∴级数∑[(-1)^n][1-cos(1/√n)]收敛、且条件收敛。
供参考。
∵n→∞时,1/√n→0,∴1-cos(1/√n)~1-[1-(1/2)(1/√n)²]=(1/2)/n。
∴级数∑[(-1)^n][1-cos(1/√n)]与级数∑[(-1)^n](1/2)/n有相同的敛散性。
而,∑[(-1)^n](1/2)/n=(1/2)∑[(-1)^n]/n,是交错级数,满足莱布尼兹判别法的条件,收敛。
但,∑1/n是p=1的p-级数,发散。∴级数∑[(-1)^n][1-cos(1/√n)]收敛、且条件收敛。
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