Question

微积分求解极限问题

RT

Answer 1

这个用迫敛性来做
a1^n+a2^n+……+ak^n
因为一共只有k个（即有限个）数,故在这k个数中,必有一个最大值amax
又有ai≥0
因此,可以得到不等式：
amax^n≤a1^n+a2^n+……+ak^n≤k*amax^n
同时开n次方,不等号不改变：
(amax^n)^(1/n)≤(a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)≤(k*amax^n)^(1/n)
即有：
amax≤(a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)≤k^(1/n)*amax
因为,
lim amax
=amax
lim k^(1/n)*amax
=amax*lim k^(1/n)
=amax*1
=amax
故,根据迫敛性,
lim (a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)=amax
其中amax=max{a1,a2,……,ak}

Answer 2

let
ai = max { a1, a2, ...., ak} ; 1≤i≤k
L =lim(x->∞) [(a1)^x+(a2)^x+...+(ak)^x]^(1/x)

lnL
=lim(x->∞) ln[(a1)^x+(a2)^x+...+(ak)^x]/x (∞/∞, 分子，分母分别求导)
=lim(x->∞) [(lna1)(a1)^x+(lna2)(a2)^x+...+(lnak)(ak)^x]/[(a1)^x+(a2)^x+...+(ak)^x]
分子分母同时除以 (ai)^x
=lim(x->∞) [(lna1)(a1/ai)^x+(lna2)(a2/ai)^x+...+(lnak)(ak/ai)^x]
/[(a1/ai)^x+(a2/ai)^x+...+(ak/ai)^x]
=(lnai)
=>
L = ai
=>
lim(n->∞) [(a1)^n+(a2)^n+...+(ak)^n]^(1/n)
=ai
= max { a1, a2, ...., ak}