Question

已知三角形ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作角ADE等于60度,DE与三角形ABC的外角平分线CE交于点

已知三角形ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作角ADE等于60度,DE与三角形ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE，求证三角形ADE为等边三角形

Answer 1

设AC交DE于F，作辅助线AB边取BH=BD
（主要思想是证三角形AHD全等于三角形DCE，用角角边）
因为AB=BC，BH=BD，所以AH=DC（一对边）

因为BH=BD，角B60度，所以三角形BHD等边，所以角BHD为60度则角AHD为120度
因为角C外角120度，CE平分它，所以角C+角ACE=角DCE=120度，即角AHD=角DCE(一组角)

因为角ADE=角ACE=60度，角AFD=角ECD,所以角DAC=角CED，因为HD||CA，所以角DAF=角ADH，所以角CED=角ADH（一组角）

所以三角形AHD全等于三角形DCE，所以AD=DE，以为角ADE=60度，所以三角形ADE为等边三角形

Answer 2

过D作AB的平行线交AC于G
三角形DGC为等边三角形
在三角形ADG和三角形EDC中
DG＝DC
角ADG＝60度-角GDF，角EDC＝60度-GDF，角ADG＝角EDC
角AGD＝角ECD＝120度
三角形ADG和三角形EDC全等
所以：AD＝DE，而角ADE=60度，所以三角形ADE为等边三角形