Question

高中不等式

已知x、y、z均为正数,且1/x+1/y+1/z=1,则x/yz+y/zx+z/xy的最小值
具体过程

Answer 1

对于任意的正数A和B,有(A-B)^2≥0,所以,A^2+B^2≥2AB.
对于1/X+1/Y+1/Z=1,通分后有:(YZ+ZX+XY)/XYZ=1,即:YZ+ZX+XY=XYZ.
对于X/YZ+Y/ZX+Z/XY,通分后等于(X^2+Y^2+Z^2)/XYZ.
即((X^2+Y^2)+(Y^2+Z^2)+(Z^2+X^2))/(2(XYZ))≥(2XY+2YZ+2ZX)/(2(XYZ))=1
所以最小值为:1.

Answer 2

首先我们有不等式a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
由1/x+1/y+1/z=1可得xy+xz+yz=xyz
x/yz+y/zx+z/xy=(x^2+y^2+z^2)/xyz
≥(xy+xz+yz)/xyz
=1
等号成立时当且仅当x=y=z=3

Answer 3

由于
((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2)/xyz>=0
而((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2)/xyz=2*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)/xyz>=0
所以(x^2+y^2+z^2)/xyz>=(xy+yz+xz)/xyz
而1/x+1/y+1/z=(xy+yz+xz)/xyz=1
x/yz+y/zx+z/xy=(x^2+y^2+z^2)/xyz
所以x/yz+y/zx+z/xy的最小值为1