Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=π/4,bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a

Answer 1

解：（1）a=bsin(π／4+C)-csin(π／4+B)=bsin(A+C)-csin(A+B)=bsinB-csinC①
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形ABC外接圆半径)
得
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
代入①式可得
2RsinA=2R(sinB)^2-2R(sinC)^2
于是
sinA=(sinB)^2-(sinC)^2=(1-cos2B)/2-(1-cos2C)/2=-(cos2B-cos2C)/2
=sin(B+C)sin(B-C)=sinAsin(B-C)
因sinA≠0，故有sin(B-C)=1，则B-C=π/2
（2）由正弦定理得2R=a/sinA=√2/(sinπ/4)=2
故b=2RsinB,c=2RsinC
故S△ABC=1/2*bcsinA=1/2*2RsinB*2RsinC*sin(π/4)
=1/2*2sinB*2sinC*√2/2
=√2/2*2sinBsinC=√2/2*[cos(B-C)-cos(B+C)]
=√2/2*[0-cos(3π/4)]=1/2
其中B+C=π-A=3π/4。

Answer 2

1）证明：由bsin（π
4
+C）-csin（π
4
+B）=a，由正弦定理可得sinBsin（π
4
+C）-sinCsin（π
4
+B）=sinA．
sinB（
2
2
sinC+
2
2
cosC）-sinC（
2
2
sinB+
2
2
cosB）=
2
2
．
整理得sinBcosC-cosBsinC=1，
即sin（B-C）=1，
由于0＜B，C＜3π
4
，从而B-C=π
2
．
（2）解：B+C=π-A=3π
/4
，因此B=5π
/8
，C=π
/8
，
由a=
2
，A=π
/4
，得b=asinB
sinA
=2sin5π
/8
，c=asinC
sinA
=2sinπ/
8
，
所以三角形的面积S=1
/2
bcsinA=
2
sin5π/
8
sinπ
/8
=
2
cosπ
/8
sinπ
8
=1
2