Question

复数题目

1：已知方程：x^2-(a+i)x-(2+i)=0 若此方程有一实数根，求实数a的值 求证：对任意实数a，原方程不可能有纯虚数根 2：已知x属于R，z属于C，x,z满足x^2+zx+3z+4i=0 若实部大于虚部，求x的范围 设复数z的对应点位于a的终边上，是否存在这样的x，使a=actg1/9? 3：设复数z满足z+2z拔=3根号3+i，w=sina-icosa,a属于闭区间0到4π/3求z值和模z-w的取值范围~~ 谢谢

Answer 1

(1)x^2-(a+i)x-(2+i)=0等价于
x^2-ax-2-i（x+1）=0
由于方程有实数根，因而左边的虚部为零，实部也是0得到
x^2-ax-2=0
x+1=0
解得x=-1
a=1
假设存在纯虚数数根x=mi
（m为实数且m不等于0）代入方程中得
0=-m^2-(a+i)*mi-（2+i）=-m^2-ami+m-2-i=-m^2+m-2-（am+1）i
左边实虚部都为0，因而有
-m^2+m-2=0
am+1=0
很显然，第一个方程无实数解，与题设矛盾，故不存在实数解
(2)
是z的实部大于虚部吧？
x^2+zx+3z+4i=0
可得
z=-（x^2+4i）/（x+3）
实部为-x^2/(x+3)
虚部为-4/（x+3）
实部大于虚部
有
-x^2/(x+3)>-4/（x+3）
解得
x<-3或-2<x<2
tan(a)=虚部/实部=x^2/4=1/9
得x=2/3
在上述范围内故存在
(3)
z+2z拔=3根号3+i
这个式子中是指的3*根号3吧
设z=x+yi
代入式子中得到
x+yi+2*（x^2+y^2）^1/2=3*3^1/2+i
因而有
x+2*（x^2+y^2）^1/2=3*3^1/2
y=1
可以解得x
剩下的就是求
|z-w|的取指范围，写出它的表达式，再就是三角函数的最优值的判断了