Question

求矩阵(1 2 3)(2 1 3)(3 3 6)的特征值和特征向量。

Answer 1

1.
求特征值：
|a-λe|
=|3-λ
-1

-1
3-λ|=0
(3-λ)²-1=0
λ²-6λ+8=0
(λ-2)(λ-4)=0
λ=2或λ=4
2.
特征向量
1）λ=2

（1
-1

-1
1）
等价于
(1
-1
0
0)
x1-x2=0
取x1=1,则x2=1
所以
对应于λ=2的所有特征向量为k1
(1,1)t
,k1≠0
2）λ=4

（-1
-1

-1
-1）
等价于
(1
1
0
0)
x1+x2=0
取x1=1,则x2=-1
所以
对应于λ=4的所有特征向量为k2
(1,-1)t
,k2≠0.

Answer 2

解:
|A-λE|
=
1-λ
2
3
2
1-λ
3
3
3
6-λ
r1-r2
-1-λ
1+λ
0
2
1-λ
3
3
3
6-λ
c2+c1
-1-λ
0
0
2
3-λ
3
3
6
6-λ
=
(-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]
=
(-1-λ)[λ^2-9λ]
=
λ(9-λ)(1+λ)
所以A的特征值为
0,
9,
-1
AX
=
0
的基础解系为:
a1
=
(1,1,-1)'
所以,A的属于特征值0的全部特征向量为:
c1(1,1,-1)',
c1为非零常数.
(A-9E)X
=
0
的基础解系为:
a2
=
(1,1,2)'
所以,A的属于特征值9的全部特征向量为:
c2(1,1,2)',
c2为非零常数.
(A+E)X
=
0
的基础解系为:
a3
=
(1,-1,0)'
所以,A的属于特征值-1的全部特征向量为:
c3(1,-1,0)',
c3为非零常数.