Question

已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．（1）若a=1，求f（...

已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）． （1）若a=1，求f（x）的单调区间； （2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式； （3）设h(x)=f(x)x，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1={x2-x+1，x≥0x2+x+1，x＜0={(x-12)2+34，x≥0(x+12)2+34，x＜0（2分）
∴f（x）的单调增区间为（12，+∞），（-12，0）；
f（x）的单调减区间为（-∞，-12），（0，12）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-12a)2+2a-14a-1
①若0＜12a＜1，即a＞12，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
②若1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)=f(12a)=2a-14a-1
③若12a＞2，即0＜a＜14时，f（x）在[1，2]上是减函数：
g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g(a)={6a-3 0＜a＜142a-14a-1 14≤a≤123a-2 a＞12（10分）
（3）h(x)=ax+2a-1x-1在区间[1，2]上任取x1、x2，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+2a-1x2-1)-(ax1+2a-1x1-1)
=(x2-x1)(a-2a-1x1x2)=x2-x1x1x2[ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x2）-h（x1）＞0
∴（*）可转化为ax1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]
且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1
①当a=0时，上式显然成立
②a＞0，x1x2＞2a-1a，由1＜x1x2＜4得2a-1a≤1，解得0＜a≤1
③a＜0，x1x2＜2a-1a2a-1a≥4，得-12≤a＜0
所以实数a的取值范围是[-12，1]（16分）