Question

定义在R上的函数f(x),对任意x属于R都有f(x)>0,f(0)不等于0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b属于R,有f(a+b)=

定义在R上的函数f(x),对任意x属于R都有f(x)>0,f(0)不等于0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b属于R,有f(a+b)=f(a)乘以f（b).。 1、求证f（0）=1 2、求证f(x)时R上的增函数。 3、若f（x）乘以f(2x-x^2)>1,求x的取值范围

Answer 1

1.因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。

2.设x1>x2，因为对任意的x属于R，恒有f(x)>0，所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2)，分子分母同时约去f(x2），得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)，因为x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。
3.f(x)*f(2x-x平方）＝f（3x-x^2）>1，因为x>0时，f(x)>1，f(x)又为R上的增函数，所以，只有当3x-x^2>0时，才会有f(x)*f(2x-x平方）>1，此时，0<x<3。