Question

定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b属于R,满足f(a+b)=f(a)*f(b),当x大于0,有f(x)大于1,其中f(x)=2.

(1)求的值
(2)求的值并判断该函数的奇偶性

Answer 1

1.因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2，于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2=0。因为当式中a＝x，b＝-x，得：f(0)=f(x)*f(-x)，因为f(0)不等于0，所以对于任意的f(x)和f(-x)都有f(x)不等于0，所以f（x)0。
3.设x1x2，因为对任意的x属于R，恒有f(x)0，所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2)，分子分母同时约去f(x2），得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)，因为x1x2,所以x1-x20,所以f(x1-x2)1,所以f(x1)/f(x2)1，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。
4.f(x)*f(2x-x平方）＝f（3x-x^2）1，因为x0时，f(x)1，f(x)又为R上的增函数，所以，只有当3x-x^20时，才会有f(x)*f(2x-x平方）1，此时，0x3。

Answer 2

1楼已经 回答了第1题了我就回答第2题吧。 令a=1、b=-1，得

f(1-1)=f(1)f(-1)，

即 f(0)=f(1)f(-1) ，得 1=2f(-1)，

所以 f(-1)=2分之1；

由 f(1) 不等于f(-1) 且 f(1)不等于-f(-1) 知，f(x)非奇非偶.