Question

定义在R上的函数y=f(x)对任意的a,b属于R满足f(a+b)=f(a)乘f(b)，当x>0 时有f(x)>1,f(1)=2

1)求f(-1)的值并判断其奇偶性
2）求不等式f(x+1)<4的解集

Answer 1

解:（1）已知f(a+b)=f(a)f(b),令a=0 b=1
则f(a+b)=f(a)f(b)=>f(0+1)=f(0)f(1)=>f(1)=f(0)f(1)
得f(0)=f(1)÷f(1)=1
令a=1 b=-1
则f(a+b)=f(a)f(b)=>f(-1+1)=f(-1)f(1)=>f(0)=f(-1)f(1)
因为f(1)=2
所以f(0)=f(-1)f(1)=>f(0)=f(-1)x2=>1=f(-1)x2=>f(-1)=0.5
所以可得f(-1)=0.5
令a=x，b=-x (x属于R)
则对于任意实数R都有f(x)f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1
所以f(x)≠f(-x),-f(x)≠f(x) f(x)在R上为非奇非偶函数.
（2）令a=x，b=1 (x属于R)
则f(x+1)=f(x)+f(1)=>f(x+1)=2f(x)
所以f(x+1)<4=>2f(x)<4=>f(x)<2=>f(x)<f(1)
因为当x>0时,f(x)>1
所以当x<0时,f(x)<1<f(1)=>f(x+1)<4 (f(x+1)=2f(x))