Question

已知抛物线 y=ax^2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A(x1,0),B(x2,0) (x1小于x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1，

已知抛物线 y=ax^2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A(x1,0),B(x2,0) (x1小于x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1，x2是方程 x^2-2(m-1)x+m^2-7=0 的两个根，且 x1^2+x2^2=10。

1.求A,B两点的坐标

2.求抛物线解析式和点C坐标

3.在抛物线是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形AVMB的面积的两倍？若存在，求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、
因为x1，x2是方程x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0的两个根
所以x1＋x2＝2(m－1) ，x1*x2＝m^2－7
又因为(x1)^2＋(x2)^2＝10
所以(x1＋x2)^2－2x1*x2＝10
即[2(m－1)]^2－2(m^2－7)＝10
整理得：m^2－4m＋4＝0
所以m＝2
代入x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0 得
x^2－2x－3＝0
解得x1＝－1，x2＝3
所以A、B的坐标为：A(－1，0)，B(3，0)

2、
把A、B坐标代入y＝ax^2＋bx＋c，得
a－b＋c＝0
9a＋3b＋c＝0
因为抛物线y＝ax^2＋bx＋c顶点M的纵坐标为－4
所以(4ac－b^2)/(4a)＝－4
上述三式组成方程组，解得
a＝1，b＝－2，c＝－3 (a＝0不合，已舍去)
所以抛物线的解析式是
y＝x^2－2x－3
当x＝0时，y＝－3
所以C点坐标是(0，－3)

3、
抛物线y＝x^2－2x－3的顶点是M(1，－4)，AB＝3－(－1)＝4
设点P的坐标为(x，y)
S△PAB＝AB*|y|/2＝4*|y|/2＝2|y|
过M作MN⊥X轴，交X轴于N点，则
S四边形ACMB＝S△AOC＋S△BNM＋S梯形MNOC
＝1*3/2＋(3－1)*4/2＋(3＋4)*1/2
＝9
若S△PAB＝2S△PAB
则有2|y|＝2*9＝18
所以|y|＝9>4，
所以P在X轴的上方
所以y＝9
所以9＝x^2－2x－3
即x^2－2x－12＝0
解得x＝1±√13
所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，坐标为：P1[(1＋√13)，9]，P2[(1－√13)，9]