高一数学题目函数问题

已知二次函数图像过(-10),问是否存在常数abc使X≤fx≤1/2(x^2+1)对一切实数X都成立?... 已知二次函数图像过(-1 0),问是否存在常数abc使X≤fx≤1/2(x^2+1)对一切实数X都成立? 展开
匿名用户
2010-10-07
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解:将x=1代入不等式得:1<=f(1)<=1,故f(1)=1
(为什么要选x=1呢?目的就是代入的数要使不等式的左右相等,即(x^2+1)/2=x,解得x=1)
设二次方程的解析式为f(x)=ax^2+bx+c将f(-1)=0及
f(1)=1代入方程得:
a-b+c=0 (1)
a+b+c=1 (2)
由(1)(2)解得b=1/2,a+c=1/2 (3)
由不等式可知:f(x)-x=ax^2-1/2x+c>=0 (4)
由(4)得a>0且(-1/2)^2-4ac<=0(判别式)即ab>=1/16 (5)
将(3)代入(5)得
a(1/2-a)>=1/16 化简得
(4a-1)^2<=0故a=1/4
所以最终的解析式为 f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4
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