Question

如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN的顶点E在BC上移动，一条边始终经过点A

1.如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN的顶点E在BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，使∠MEN=∠B，联接AE，若△AEF为等腰三角形（AF=EF），求BE的长
2.已知AM‖BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（与A不重合），点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），联接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，设AE=x，BC=y，若AD=DE=AB，C△BCE是否是定值？

Answer 1

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C（1分）
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC（1分）
∴△ABE∽△ECF（1分）
∴AB BE =EC FC 即5 x =8-x 5-y （1分）
∴y=1 5 (x2-8x+25)（0≤x≤8）（2分）
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=3 5 （1分）
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则有cos∠AEF=EG AE =cos∠B=3 5 ，即EF AE =6 5 （1分）
∵△ABE∽△FEC，∴AB EC =6 5 ，即5 8-x =6 5 ，解得x=23 6 （2分）
②若AF=FE，同理有5 8-x =5 6 ，解得x=2 （2分）
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3； （1分）
∵0＜2，3，23 6 ＜8．

Answer 2

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Answer 3

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C（1分）
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC（1分）
∴△ABE∽△FEC（1分）
∴ ABBE=ECFC即 5x=8-x5-y（1分）
∴ y=15(x2-8x+25)（0＜x＜8）（2分）
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos ∠B=35（1分）
1°则有cos ∠AEF=EGAE=cos ∠B=35，即 EFAE=65（1分）
∵△ABE∽△BFC，∴ ABEC=65，即 58-x=65，解得x= 236（2分）
2°若AF=FE，同理有 58-x=56，解得x=2 （2分）
3°（1分）
∵0 ＜2，3，236＜8，
∴当x=2，3， 236时，△AEF为等腰三角形（1分）

Answer 4

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C（1分）
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC（1分）
∴△ABE∽△ECF（1分）
∴AB BE =EC FC 即5 x =8-x 5-y （1分）
∴y=1 5 (x2-8x+25)（0≤x≤8）（2分）
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=3 5 （1分）
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则有cos∠AEF=EG AE =cos∠B=3 5 ，即EF AE =6 5 （1分）
∵△ABE∽△FEC，∴AB EC =6 5 ，即5 8-x =6 5 ，解得x=23 6 （2分）
②若AF=FE，同理有5 8-x =5 6 ，解得x=2 （2分）
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3； （1分）
∵0＜2，3，23 6 ＜8．

Answer 5

？？？？？