Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.

Answer 1

由题意得 等腰梯形ABCD的周长c=24，高h=4，面积s=28
（1）设△BEF中BE边上的高为a
BF=c/2 -x =12-x
则BF/AB = a/h，即a=4(12-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(12-x)/5]*x/2=[24x-2x^2]/5
（2）假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
则△BEF的面积=[24x-2x^2]/5=s/2=14
即[24x-2x^2]/5=14，整理得x^2-12x+35=0
解得 x1=7(不合题意点E在下底边BC上，点F在腰AB上舍去)
x2=5(不合题意点E在下底边BC上，点F在腰AB上舍去)
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分
（3） 假设EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分
此时 BF=c/3 -x =8-x
则BF/AB = a/h，即a=4(8-x)/5
△BEF的面积=a*BE/2=[4(8-x)/5]*x/2=[16x-2x^2]/5=s/3=28/3
即[16x-2x^2]/5=28/3，整理得3x^2-24x+70=0
关于x的方程根的判别式=(-24)^2-4*3*70=576-840<0
关于x的方程无解
所以 不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分

Answer 2

解：（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G
∴BK= 12（BC-AD）= 12×（10-4）=3，
∴AK= AB2-BK2=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴ FGAK=BFBA，
即： FG4=12-x5，
则可得：FG= 12-x5×4
∴S△BEF= 12BE•FG=- 25x2+ 245x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：- 25x2+ 245x=14，
x2-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；

（3）不存在（1分）
假设存在，显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8，面积的三分之一为28/3．因为BE=X，
所以BF=（8-X），EM=4X/5，
所以△BEF的面积为： 2(8-x)x5=83，
∴一 25x2+ 165x= 283整理得：3x2-24x+70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．（2分）

Answer 3

(1)FG=4(12-x)/5
(2)存在x=7
(3)不存在
这是2008年诸暨市提前招生考试试卷的最后一道题

Answer 4

（1）、过A作BC的垂线，则可以知道tanB=4/3。设BE为X，则BF=12-X，则△BEF在BC边上的高为4/5*(12-x)，故面积为1/2*4/5*(12-x)*x=2/5*(12x-x^2)
(2)、假设存在，因为梯形的面积为28，一般就是14，那么（1）中的面积公式=14，解方程得X=5或7，又由于12-X>=0或<=5,则X>=7或<=12，若等于7，则F与A点重合。
（3）、因为BE+BF最大为15，故BE+BF只能等于8，设BE为X则BF为8-X，故△BEF面积2/5*(8x-x^2)=28/3或28*2/3，解方程可得，再判断存在可能性就可以（与第2题相似，就不重复过程啦，自己求解答案吧）

Answer 5

这都是初中数学，好好看书吧

Answer 6

2