Question

数列题，求通项公式

在数列｛an｝中，已知a1=2,，a（n+1）=2an / a（n）+1,则数列｛an｝的通项公式为
等式左边的n+1是下标，右边分母上，是第an项+1

Answer 1

a(n+1)=2an/an+1 (n+1)表示下标 两边去倒数
1/a(n+1)=(an+1)/2an
1/a(n+1)=1/2an+1/2
1/a(n+1)-1=(1/2)(an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以{1/an-1}是以1/a1-1=-1/2为首相q=1/2为公比的等比数列
1/an-1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n
1/an=1-1/2^n
所以an=2^n/(2^n-1)

Answer 2

取倒数
1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/(2an)
令bn=1/an
则b(n+1)=1/2+1/2*bn
b(n+1)-1=1/2*bn-1/2=1/2*(bn-1)
所以bn-1是等比数列
q=1/2
b1=1/a1=1/2
所以bn-1=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
所以bn=1+(1/2)^n
所以an=1/bn=1/[1+(1/2)^n]