Question

高三数学问题！要求有详细的解答过程。谢谢！

做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，问锅炉的底面直径与高的比为多少时，造价最低？

Answer 1

容积为V 也就是体积为v
体积为 π r方乘以 h
造价为 2（π r方）a+ （2π rh）b
=2π r （ar+bh）
当ar+bh 最小时造价最低
ar+bh ≥2 根号（ar*bh）
当 ar=bh 时取等号
所以 当ar=bh 时 造价最小
所以r/h=b/a
d/h=2b/a

Answer 2

方法1.

2个底面积：S=pie*R*R 造价：pie*R*R*a
侧面积：S=pie*D*H 造价：pie*D*H*b
R=D/2
底面造价：2*pie*D*D/4*a=pie*D*D/2*a
侧面造价： pie*D*H*b
D.H满足D/H=a/b时 造价最低

2.

设造价为Y,直径与高的比为X
2r/h=X,2r=Xh
V=πr²h
S=2πr²+2πrh
Y=2aπr²+2bπrh

V=πh*h²X²/4,h=3次根号(4V/πX²),r=Xh/2=3次根号(VX/2π)

Y=2aπ*3次根号(VX/2π)²+2bπ*3次根号(2V²/π²X)
Y=2π[a*3次根号(V²X²/4π²)+b*3次根号(2V²/π²X)]
Y=2π[a*3次根号(V²X²/4π²)+b/2*3次根号(2V²/π²X)+b/2*3次根号(2V²/π²X)]
Y=2π[3次根号(a³V²X²/4π²)+3次根号(b³V²/4π²X)+b/2*3次根号(b³V²/4π²X)]
Y≥2π{3*3次根号[3次根号(a³V²X²/4π² *b³V²/4π²X *b³V²/4π²X)]} (当且仅当a³V²X²/4π²=b³V²/4π²X时成立)
Y≥2π{3*3次根号[3次根号(a³b³V²V²V²/4π²4π²4π²)]}
Y最小=2π[3*3次根号(abV²/4π²)]=3*3次根号(2πabV²)

即
a³V²X²/4π²=b³V²/4π²X
a³X²=b³/X
X³=a³/b³
X=a/b

祝你好运

Answer 3

设底面半径为x，高为y
则 V=pi*x^2*y pi=3.1415926 y=V/(pi*x^2)
造价 为 2*pi*x^2*a+2*pi*x*y*b=2a*pi*x^2+2b*pi*xy
=2a*pi*x^2+2b*pi*x*V/(pi*x^2)=2a*pi*x^2+2b*V/x
求导即可