Question

求证： lim(△x→0)(y= e^(x+△))

Answer 1

导数公式推导过程如下：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

常用导数：

y = C(C为常数) , y' = 0。

y=xn, y' = nxn-1。

y = ax, y' = lna*ax。

y = ex, y' = ex。

y = logax , y' = 1 / (x*lna)。

y = lnx , y' = 1/x。

y = sinx , y' = cosx。

y = cosx , y' = -sinx。

y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx , y' = 1/(1+x2)。