Question

向量的题目

已知向量a=（cos 3x/2，sin3x/2）。向量b=（cos x/2，sin x/2）。且x属于[0，π/2]。求
1.向量a·向量b
2.|向量a加向量b| (ps.那两台竖是绝对值)
3.求函数f(x)=向量a·向量b-|向量a加向量b|的最小值

Answer 1

a.b
=（cos3x/2，sin3x/2）.（cosx/2，sin x/2）
=cos3x/2cosx/2+ sin3x/2sinx/2
= cosx #

|a+b|^2
=(a+b).(a+b)
=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2+sinx/2).
(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2+sinx/2)
= (cos3x/2+cosx/2)^2 + (sin3x/2+sinx/2)^2
= 2 + 2(cos3x/2cosx/2+ sin3x/2sinx/2)
= 2 + 2cosx
= (2cos(x/2))^2

|a+b| = 2cos(x/2) #

f(x)=a·b-|a+b|
= cosx -2cos(x/2)
f'(x) = -sinx + sin(x/2) = 0
sinx - sin(x/2)=0
2(sinx/2cosx/2)-sinx/2=0
sinx/2( 2cosx/2-1 ) = 0
sinx/2 = 0 => x= 0, π/2
or cosx/2=1/2 => x= π/2

min occurs at x= 0

minf(x) = cos0 -2cos0
= 1-2
= -1 #

Answer 2

1.向量a·向量b
=cos 3x/2cos x/2+sin3x/2sin x/2
=cosx
2.|向量a加向量b|
=｜(cos 3x/2+cos x/2 ，sin3x/2+sin x/2)｜
=[(cos 3x/2+cos x/2 )^2 +(sin3x/2+sin x/2)^2]的开方
=〔2+2（cos 3x/2cos x/2+sin3x/2sin x/2）〕的开方=根号（2+2cosx）

3.f(x)=向量a·向量b-|向量a加向量b|
=cosx-根号（2+2cosx）
=〔(根号cosx+1)-根号2/2〕^2-3/2
因为x属于[0，π/2],所以x取0时值最小
f(0)=1-2=-1