Question

如图：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E是BC上两点，且∠DAE=45°

如图：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E是BC上两点，且∠DAE=45°,求证：以BD、DE、和EC为边可以构成一个直角三角形。

Answer 1

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠ACB=45°

 

将△ABD绕A旋转到AC和AB重合，得△ABD≌△ACF，连接EF

∴AD=AF，BD=CF

∠BAD=∠FAC，∠B=∠ACF=45°

∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°

即∠ECF=90°

∵∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°

∴∠CAE+∠FAC=∠EAF=45°

∴∠DAE=∠EAF

∵AE=AE

AD=AF

∴△ADE≌△AEF(SAS)

∴DE=EF

在RT△EFC中：EF²=CE²+CF²

∴DE²=CE²+BD²

Answer 2