Question

A是线性空间V的一个线性变换,试证如果α,Aα,…A∧k-1α线性无关,而α,Aα,…A∧kα线性相

A是线性空间V的一个线性变换,试证如果α,Aα,…A∧k-1α线性无关,而α,Aα,…A∧kα线性相关,那么L(α,Aα,…A∧k-1α）是A的一个不变子空间
且是包含α的最小的A-子空间

Answer 1

将A作用于L(α,Aα,…A∧k-1α）的基得到Aα,…A∧kα，由于α,Aα,…A∧kα线性相关，所以Aα,…A∧kα均能够由α,Aα,…A∧k-1α线性表出，所以是A-不变子空间；
假设U为A-不变子空间且包含α，那么也包含Aα，A^2α，……，A^kα，所以U包含L(α,Aα,…A∧k-1α），也就是说L(α,Aα,…A∧k-1α）是包含α的最小的A-子空间

追问

你说的那个能够线性表出，就是不变子空间，能够给出充分说明吗？虽然我已经知道证明过程了，是利用那个线性变换的所有的像都在那个空间里证明的，这是利用定义，不过还是想了解一下你的这种思想

追答

其实我的意思还是证明所有像都在原空间中，和你的说法是一个意思哈。具体点就是α,Aα,…A∧kα线性相关所以A^kα=k1*α+……+kn*A^k-1*α，也就是说A^k*α在L(α,Aα,…A∧k-1α）中了

Answer 2

什么 东西