Question

已知函数f（x）=-x²＋ax-㏑x（a∈R）,当函数f（x）在（½，2）上单调，求a的取值范围利用

Answer 1

f‘(x)=-2x+a-1/x=-(2x²-ax+1)/x
①当f(x)在(1/2,2)上单调递增时，令f'(x)=-(2x²-ax+1)/x>0，那么2x²-ax+1<0
∴ax>2x²+1，∴a>2x+(1/x)对于x∈(1/2,2)恒成立，那么a要大于2x+(1/x)的最大值
而函数y=2x+(1/x)在(0,√2/2)上单调递减，在(√2/2,+∞)上单调递增，那么最大值在x=1/2，或x=2处取得：当x=2时，2x+(1/x)=9/2；当x=1/2时，2x+(1/x)=3，∴最大值为9/2，∴a≥9/2；
②当f(x)在(1/2,2)上单调递减时，令f'(x)=-(2x²-ax+1)/x<0，那么2x²-ax+1>0
∴ax<2x²+1，∴a<2x+(1/x)对于x∈(1/2,2)恒成立，那么a要大于2x+(1/x)的最小值
当x=√2/2时，2x+(1/x)取得最小值为2√2，∴a<2√2
综上所述，a<2√2，或a≥9/2

望采纳

Answer 2

1、a=1时，f(x)=lnx-x²+x，定义域为：x>0
f'(x)=1/x-2x+1=-(2x²-x-1)/x=-(2x+1)(x-1)/x
x>0，则：2x+1>0，
所以，易得：0<x<1时，f'(x)>0；x>1时，f'(x)<0；
所以，f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减
则f(1)是最大值，f(1)=ln1-1+1=0
f(x)的最大值为0
所以，函数f(x)只有一个零点。
题设得证。

2、
f'(x)=1/x-2a²x+a=-(2a²x²-ax-1)/x
在（1，+∞）上 是减函数，则f'(x)<0对x>1恒成立
即：-(2a²x²-ax-1)/x<0对x>1恒成立
即：2a²x²-ax-1>0对x>1恒成立
观察该式，可以十字相乘：
(2ax+1)(ax-1)>0
（1）a=0时，-1>0，舍去；
（2）a<0时，x1=-1/2a>0，x2=1/a<0
不等式的解为：x<1/a或x>-1/2a
对x>1恒成立，则：-1/2a≦1
得： a≦-1/2
所以，a≦-1/2
（3）a>0时，x1=-1/2a<0，x2=1/a>0
不等式的解为：x<-1/2a或x>1/a
对x>1恒成立，则：1/a≦1
得： a≧1
所以，a≧1
综上，实数a的取值范围是：a≦-1/2或a≧1

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