Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

(1)证明见解析 (2) 矩形，证明见解析(3) 直角三角形

证明：(1)∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE， ∴OE＝OC.同理可证OF＝OC，∴OE＝FO. (2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． ∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角， ∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝ ×180°＝90°. 由(1)得OE＝OF，又∵O为AC的中点，∴AO＝CO. ∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． (3)当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，在(2)的条件下，四边形AECF是正方形 （1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF； （2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形； （3）当△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．