Question

请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设

请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得（y2）2+y2-1=0化简，得y2+2y-4=0故所求方程为y2+2y-4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：______；（2）己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．

Answer 1

（1）设所求方程的根为y，则y=-x所以x=-y．
把x=-y代入已知方程，得y²-y-2=0，
故所求方程为y²-y-2=0；

（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b?

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，即x（ax+b）=0，
可得有一个解为x=0，不符合题意，因为题意要求方程ax²+bx+c=0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy²+by+a=0（c≠0）．