Question

在数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an?n+1，n∈N*（I）证明数列{an-n}是等比数列；（II）设bn＝an2n，求数列{b

在数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an?n+1，n∈N*（I）证明数列{an-n}是等比数列；（II）设bn＝an2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（I）由题设a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+n，
所以数列b_n=

an

2n

=

1

2

+n(

1

2

)n，
所以S_n=

n

2

+[1?

1

2

+2?

1

22

+3?

1

23

+…+（n-1）

1

2n?1

+n

1

2n

]，
设T_n=1?

1

2

+2?

1

22

+3?

1

23

+…+（n-1）

1

2n?1

+n

1

2n

   ①
所以

1

2

T_n=1?

1

22

+2?

1

23

+3?

1

24

+…+（n-1）

1

2n

+n

1

2n+1

  ②
①-②可得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?n

1

2n+1

=

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

?n

1

2n+1

=1-

1

2n

?n

1

2n+1

=1?

n+2

2n+1

，
故T_n=2?

n+2

2n

，故S_n=

n

2

+2?

n+2

2n

=

n+4

2

?

n+2

2n