Question

小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，

小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D， 两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．

Answer 1

①证明：在△OCM和△ODN中， ∠COM=∠DON ∠OCM=∠ODN=90° OM=ON ， ∴△OCM≌△ODN（AAS）， ∴OC=OD， 在△OCP与△ODP中， ∵ OC=OD OP=OP ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴∠MOP=∠NOP， 即OP平分∠AOB； ②a．利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD； b．过C，D分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点E； c．作射线OE，OE就是所求的角平分线． ∵CE⊥OA，ED⊥OB， ∴∠OCE=∠ODE=90°， 在Rt△OCE与Rt△ODE中， ∵ OC=OD OE=OE ， ∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）， ∴∠EOC=∠EOD， ∴OE为∠AOB的角平分线．