Question

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．（Ⅰ）若 | AC |=|

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．（Ⅰ）若 | AC |=| BC | ，求角α 的值；（Ⅱ）若 AC ? BC =-1 ，求 2 sin 2 α+sin2α 1+tanα 的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）． ∴ AC =（cosα-3，sinα）， BC =（cosα，sinα-3） ∴ |AC | = (cosα-3) 2 +( sinα) 2 ， | BC | = (cosα) 2 + (sinα-3) 2 ∵ | AC |=| BC | ，∴ (cosα-3) 2 + (sinα) 2 = (cosα) 2 + (sinα-3) 2 即，（cosα-3） 2 +（sinα） 2 =（cosα） 2 +（sinα-3） 2 ∴sinα=cosα，∴tanα=1，∴ α=kπ+ π 4 ，k∈Z （Ⅱ）由（1）知， AC =（cosα-3，sinα）， BC =（cosα，sinα-3） ∴ AC ? BC =（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=1-3（sinα+cosα）=-1 ∴sinα+cosα= 2 3 ，∴（sinα+cosα） 2 =1+2sinαcosα= ( 2 3 ) 2 ∴2sinαcosα= - 5 9 2 sin 2 α+sin2α 1+tanα = 2 sin 2 α+2sinαcosα 1+ sinα cosα =2sinαcosα= - 5 9