Question

已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线O

已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中∠H∠ABC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

Answer 1

（1）S_△BCD=

1

2

CD?OC=

1

2

×3×2=3．
（2）如图②，

∵AC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠CFE+∠CBF=90°，
∵直线MN⊥直线PQ，
∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°，
∵BF是∠CBA的平分线，
∴∠CBF=∠OBE，
∵∠CEF=∠OBE，
∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，
∴∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，

∵直线l∥PQ，
∴∠ADC=∠PAD，
∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP=2∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，
∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC，
∵∠H+∠HCA=∠DAC，
∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠HCA，
∴∠ABC=2∠H，
∴

∠H

∠ABC

=

1

2

．