Question

如图，已知，A为∠POQ的边OQ上的一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠

如图，已知，A为∠POQ的边OQ上的一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=60°，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动，设OM=x，ON=y（y＞x≥0）．（1）求证：AN2=ON?MN；（2）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；（3）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）因∠MAN=∠POQ=60°，∠MNA=∠ONA，
所以△OAN∽△ANM，
得

AN

MN

＝

ON

AN

，
AN²=ON?MN；（3分）

（2）由∠MAN=∠POQ=60°，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，
ON=OA=2．         （5分）
当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，
OA=2，∠AON=60°，
得ON=4，
故点N移动的距离为2；（7分）

（3）过A作AD⊥OP，垂足为D，在Rt△OAD中，
OD＝OA?cos60°＝2×

1

2

＝1，
AD＝OA?sin60°＝

3

，
所以DN=ON-OD=y-1，
在Rt△ADN中，AN2＝AD2+DN2＝(

3

)2+(y?1)2＝y2?2y+4．（9分）
又由（1）得AN²=ON?MN，即y²-2y+4=y（y-x），
整理得y＝

4

2?x

，（10分）
因y＞0，
故2-x＞0，即x＜2．
又因x≥0，
所以x的取值范围是0≤x＜2．              （11分）