Question

已知AB=AC∠BAC=90°,将一45°角的顶点与点A重合，两边分别为射线AP和射线AQ，过点C作AC的垂线交AQ与N

过点B做AB的垂线交AP于M，连接MN
求证：BM+CN=MN

Answer 1

证明：延长NC到E，使CE=BM
在△ABM和△ACE中
BM=CE
∠B=∠C=90°
AB=AC
∴△ABM≌△ACE (SAS)
∴AM=AE
∠BAM=∠CAE
∴∠NAE=90°-∠BAM-45°+∠CAE
=45°
∴∠NAM=∠NAE=45°
在△NAM和△NAE中
AM=AE
∠NAM=∠NAE
AN=AN
∴△NAM≌△NAE (SAS)
∴MN=EN
∴MN=CE+CN=BM+CN

Answer 2

证明：延长NC到E，使CE=BM
在△ABM和△ACE中
BM=CE
∠B=∠C=90°
AB=AC
∴△ABM≌△ACE (SAS)
∴AM=AE
∠BAM=∠CAE
∴∠NAE=90°-∠BAM-45°+∠CAE
=45°
∴∠NAM=∠NAE=45°
在△NAM和△NAE中
AM=AE
∠NAM=∠NAE
AN=AN
∴△NAM≌△NAE (SAS)
∴MN=EN
∴MN=CE+CN=BM+CN也可以截长