Question

已经抛物线y 2 =2px（p＞o）与直线l交于A，B两点，且 OA ? OB =0 ，过原点

已经抛物线y 2 =2px（p＞o）与直线l交于A，B两点，且 OA ? OB =0 ，过原点O作直线AB的垂线OM，垂足为 M(3， 3 ) ．（1）求抛物线的方程；（2）设点Q（a，0）是坐标轴上一点，P为抛物线上任一点，当|QP|最小值等于 2 3 时，求P点的坐标及相应a的值．

Answer 1

由题意可得直线OM的斜率K= 3 3 ，且OM⊥AB ∴ K AB =- 3 ，直线AB的方程为 y- 3 =- 3 (x-3) 联立方程 y=- 3 x+4 3 y 2 =2px 整理可得3x 2 -（24+2p）x+48=0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）则x 1 x 2 =16， x 1 + x 2 = 24+2p 3 ∴ y 1 y 2 =(4 3 - 3 x 1 )(4 3 - 3 x 2 ) =48-12（x 1 +x 2 ）+3x 1 x 2 =-8p OA ? OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 =16-8p=0 ∴p=2 ∴抛物线的方程为y 2 =4x （2）设P（x，y）则PQ= ( x-a) 2 + y 2 = x 2 -(2a-4)x+ a 2 = [x -(a-2)] 2 +4a-4 根据二次函数的性质可得当x=a-2时 PQ min = 4a-4 =2 3 ∴a=4，此时P（2， ，2 2 ）