Question

（2013?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向

（2013?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×60=30cm．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD=2t，
∴DF=AE；

解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，?AEFD是菱形；

（3）当t=

15

2

时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
即60-4t=4t
解得：t=

15

2

∴t=

15

2

时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=

1

2

AE，
AD=AC-CD=60-4t，AE=DF=

1

2

CD=2t，
∴60-4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=

15

2

时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．