Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an2n（n∈N*），求数列{bn}

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n，
n=1时，也适合上式．
∴a_n=2n．…（6分）
（2）由已知：bn＝2n?2n＝n?2n+1，
∵Tn＝1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，①
∴2T_n=1?2³+2?2⁴+…+（n-1）?2ⁿ⁺¹+n?2ⁿ⁺²，②…（8分）
①-②得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n?2ⁿ⁺²
=

4(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺²+4．…（12分）