设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在区间[0,+∞

设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在区间[0,+∞)时是减函数,f(1)=-2.⑴,求f(0)⑵,证明f(x)是奇函数。⑶... 设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在区间[0,+∞)时是减函数,f(1)=-2.
⑴,求f(0)
⑵,证明f(x)是奇函数。
⑶,若f(x²-1)+f(x)>2,求x的取值范围。
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jone091167
推荐于2018-04-06 · TA获得超过12.8万个赞
知道大有可为答主
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(1)令x=y=0,则有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0.
令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0,
2)由(1)知(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)任取x1<x2,则x2-x1>0.⇒f(x2-x1)<0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)在R上为减函数.
f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)>f(-1)=-f(1)=2

x²-1+x<-1. -1<x<0
凉苡年
2015-02-04 · TA获得超过1269个赞
知道小有建树答主
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(1)取x=0,y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
f(0)=0

(2)任取x,y。令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数
(3)f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)
=f(x²+x)+f(-1)
=f(x²+x)-f(1)
=f(x²+x)+2>2
所以f(x²+x)>0
f(x)是奇函数,在[0,+∞)递增,所以在(-∞,0)上也递增。
f(0)=0
所以x²+x>0
x(x+1)>0
解得:x<-1或x>0
x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)
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(1)取x=0,y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
f(0)=0

(2)任取x,y。令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数
(3)f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)
=f(x²+x)+f(-1)
=f(x²+x)-f(1)
=f(x²+x)+2>2
所以f(x²+x)>0
f(x)是奇函数,在[0,+∞)递减,所以在(-∞,0)上也递减。
f(0)=0
所以x²+x<0
x(x+1)<0
解得:-1<x<0
x∈(-1,0)
不好意思,前面看成增函数了。。。
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christcha
2015-02-04 · TA获得超过3974个赞
知道大有可为答主
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(1) 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=2f(0),得f(0)=0
(2) 令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)是奇函数
(3) f(x²-1)+f(x)=f(x²-1+x),f(-1)=-f(1)=2 ∴f(x²-1+x)>f(-1)
∵f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(x)为奇函数,∴f(x)在R上也是减函数
∴x²-1+x<-1,得x(x+1)<0,∴解得-1<x<0
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风车和谷堆
2015-02-04
知道答主
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(1)f(0)=f(0)+f(0) 故f(0)=0
(2)令y=-x
由f(x+y)=f(x)+f(y)

有f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0
即f(-x)=-f(x)
(3)由f(x²-1)+f(x)>2和f(x+y)=f(x)+f(y)

有f(x²+x-1)>2

又f(x)在区间[0,+∞)时是减函数且f(x)是奇函数
故f(x)在R上单调递减

由f(1)=-2得f(-1)=2

即f(x²+x-1)>2=f(-1)
有x²+x-1<-1
解得-1<x<0
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