Question

已知椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 ，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，

已知椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 ，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k 1 、k 2 ．（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；（2）求证：k 1 +k 2 =0．

Answer 1

（1）直线l的方程是y=x-1，代入椭圆方程整理得：7x 2 -8x-8=0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2 = 8 7 ，x 1 x 2 =- 8 7 ．…2分 |AB|= 1+ k 2 ?|x 1 -x 2 |= 2 ? ( 8 7 ) 2 + 32 7 = 24 7 ．…5分 （2）证明：当l⊥x轴时，由椭圆的对称性易知k 1 +k 2 =0；…6分 当l不与x轴垂直时，设其方程是：y=k（x-1）代入椭圆方程整理得：（3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4k 2 -12=0，易知其判别式△＞0恒成立， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2 = 8 k 2 3+4 k 2 ，x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ．…9分 而K（4，0） 则k 1 +k 2 = y 1 x 1 -4 + y 2 x 2 -4 = x 1 y 2 + y 1 x 2 -4( y 1 + y 2 ) ( x 1 -4)( x 2 -4) = k[2 x 1 x x -5( x 1 + x 2 )+8] ( x 1 -4)( x 2 -4) =0 即k 1 +k 2 =0 综上总有k 1 +k 2 =0．…13分