Question

判断函数f（x）=x+1x?1在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明

判断函数f（x）=x+1x?1在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

f（x）=

x+1

x?1

＝

x?1+2

x?1

＝1+

2

x?1

；
通过解析式可以看出，当x增大时，f（x）减小，所以f（x）为减函数，下面用定义证明：
证明：设x₁＜x₂＜0，则：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1?1

?

2

x2?1

＝

2(x2?x1)

(x1?1)(x2?1)

；
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．