Question

已知函数f（x）= ， （Ⅰ）若函数在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f（x）= ， （Ⅰ）若函数在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证[（n+1）！] 2 ＞（n+1）·e n-2 （n∈N*）。

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Answer 1

解：（Ⅰ）因为 ，x＞0，则 ， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以函数f（x）在x=1处取得极大值， 因为函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值， 所以 ； （Ⅱ）不等式 ， 即为 ， 记 ， 所以 ，  令 ， ∵x≥1， ∴ ， ∴h（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴ ， 从而g′（x）＞0， 故g（x）在[1，+∞）上也单调递增， ∴ ， 所以k≤2。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知： 恒成立， 即 ， 令x=n（n+1）， 则 ， 所以 ， ， ， ………… …… ， 叠加得： ， 则 ， 所以 。