Question

（本小题满分12分）已知函数 .（1）设 ，讨论 的单调性；（2）若对任

（本小题满分12分）已知函数 .（1）设 ，讨论 的单调性；（2）若对任意 ， ，求实数 的取值范围.

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Answer 1

（1）增区间为 ，减区间为 .（2） .

试题分析：（1） ，定义域为 ， ， 设 则 ， 上是减函数，又 ， 于是 的增区间为 ，减区间为 . （2）由已知 . 当 时， ，不合题意； 当 时， ，由 ，可得 . 设 .……8分 设 ，方程的判别式 ， 若 在 上是增函数， 又 ， 若 ， 存在 ，使得 ，对任意 ， 又 不合题意. 综上所述，实数 的取值范围是 . 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（II）通过构造函数，并研究函数的单调性，函数值与最值比较，达到解题目的。分类讨论，排除可能情况，值得关注。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。