Question

如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，直线AM，BN交于点Q，且∠BQM=60°．（1）求证：BM=CN；（2）

如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，直线AM，BN交于点Q，且∠BQM=60°．（1）求证：BM=CN；（2）若将题中的点M，N分别移到BC，CA的延长线上，其他条件都不变，是否任能得到BM=CN？请画出图形加以证明．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABM=∠C=60°，AB=BC（2分） 又∠ABQ+∠BAQ=∠BQM=60° ∠ABQ+∠CBN=∠ABM=60° ∴∠BAQ=∠CBN（3分） ∴△ABM≌△BCN（ASA）（4分） ∴BM=CN（全等三角形对应边相等）（5分） （2）仍能得到BM=CN，如图所示．证明如下：（6分） ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC（7分） 又∠M+∠MAC=∠ACB=60° ∠N+∠NAQ=∠BQM=60° 而∠MAC=∠NAQ（对顶角相等） ∴∠M=∠N（8分） ∴△ABM≌△BCN（AAS）（9分） ∴BM=CN（全等三角形对应边相等）．（10分）