Question

1x2x3x⋯xn+18是两个连续的自然数的乘积,求n

Answer 1

注意到，1×2×3×4×5=120，个位已经是0了，

因而，当n>5时，1×2×3×4×5×...×n的个位一定是0。
那么，当n>5时，1×2×3×4×5×...×n+18的个位一定是8。

而这个结果是两个连续自然数的乘积，
那我们考虑这两个自然数乘积的个位数。

注意到，两个多位数乘积的个位数只与这两个因数的个位数有关（如需证明请追问。）

下面考虑所有情况：
0×1，个位=0
1×2，个位=2
2×3，个位=6
3×4，个位=2
4×5，个位=0
5×6，个位=0
6×7，个位=2
7×8，个位=6
8×9，个位=2
9×0，个位=0

也就是说，不存在个位为8的情况。

因而，n>5排除。
那么
n=1时，1+18=19（不是两个连续自然数乘积，排除；）
n=2时，2+18=20（4×5=20；）
n=3时，6+18=24（不是两个连续自然数乘积，排除；）
n=4时，24+18=42（6×7=42；）

因而，n的解有两个：【n=2】或【n=4】

【经济数学团队为你解答！】

Answer 2

1x2x3x⋯xn+18是两个连续的自然数的乘积, n=4