Question

已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜x，则f（x）

已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜x，则f（x）在R上的零点个数为（　　）A．1B．3C．5D．1或3

Answer 1

令g（x）=x²f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵当x＜0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x²＞0，
∴当x＜0时，g（x）为减函数，
则g（x）＞g（0）=0，
∴f（x）＞0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一个零点为x=0．
故选：A．