Question

将一副直角三角板按图1的方式放置，三角板ACB的直角顶点A在三角板EDF的直角边DE上，点C、D、B、F在同一直

将一副直角三角板按图1的方式放置，三角板ACB的直角顶点A在三角板EDF的直角边DE上，点C、D、B、F在同一直线上，点D、B是CF的三等分点，CF=6．（1）三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，使DE与AC交于点M，DF与AB交于点N，当EF∥CB时（如图2），DF旋转的度数为______；（2）求图2中的四边形AMDN的周长；（3）将图2中的三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°得图3，猜想图3中的四边形AMDN是什么四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵EF∥CB，
∴∠FDB=∠F=30°．
即DF旋转的度数是30°，

（2）如图2，∵∠CDM+∠ADE=90°，∠ADN+∠ADE=90°，
∴∠CDM=∠ADN，
在△CDM与△ADN中，

∠CDM＝∠ADN CD＝AD ∠MCD＝∠NAD＝45°

，
∴△CDM≌△ADN（ASA），
∴CM=AN，
同理可证：AM=BN，
∴AM+MD+DN+AN=AM+MC+AN+NB=AC+AB=2

2

+2

2

=4

2

，
∴四边形AMDN的周长为4

2

．

（3）在图2的位置，将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°，如图3，
∴∠FDB=45°，
∴∠FDB=∠C，
∴AC∥DF，
∵∠EDF=∠BAC=90°，
∴∠AMD=∠EDF=90°，∠AND=∠CAB=90°，
∵∠DAB=45°，
∴AN=DN，
∴四边形AMDN是正方形．