Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点． （1）求

如图，在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点． （1）求证：四边形MENF是菱形；（2）当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AB=CD，∠A=∠D， ∵M为AD的中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM中， AM=DM ∠A=∠D AB=DC ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM=CM， ∵点E，F，N分别是BM，CM，BC的中点， ∴EN= 1 2 CM，FN= 1 2 BM，ME= 1 2 BM，MF= 1 2 CM， ∴EN=FN=FM=EM， ∴四边形MENF是菱形． （2）连结MN， ∵BM=CM，BN=CN， ∴MN⊥BC， ∵AD ∥ BC， ∴MN⊥AD， ∴MN是梯形ABCD的高， 又∵四边形MENF是正方形， ∴△BMC为直角三角形， 又∵N是BC的中点， ∴MN= 1 2 BC， 即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．