Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1=2AC（1）

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1=2AC（1）求证：CN∥面AMB1（2）求证：B1M⊥面AMG（3）求：VAMBG：VABC?A1B1C1．

Answer 1

（1）证明：设AB₁的中点为P，连结NP、MP…（1分）
∵CM

∥

.

1

2

AA₁，NP

∥

.

1

2

AA₁，∴CM

∥

.

NP，…（2分）
∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）证明：∵CC₁⊥平面ABC，
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（5分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁
设：AC=2a，则CC₁=2

2

a
在Rt△MCG中，MG=

CM2+CG2

＝

3

a，
同理，B₁M=

6

a
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∴B₁G=

B1B2+BG2

＝3a，
∴MG²+B₁M²=B1G2，∴B₁M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B₁M⊥平面AMG..…（8分）
（3）解：VABC?A