Question

已知f(x)=x²+2x+3,实数a,b,c（a≠0）使得方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0有实数根，则该方程的不同实

数根的和的所有可能值是？
若对于任意实数x，函数f(x)=x²-2x|x-1-a|-|x-2|+4的值均为非负，则实数a的最小值为？
请看清楚，第一提问的是x的解的和而并非“f(x)”的解的和

Answer 1

∵f(x)=x²+2x+3=（x+1）2+2≥2
∴设t= f(x)， 则 t ≥ 2 ,
又 根据题意，方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0有实数根，
也就是关于t 的方程at²+bt+c=0有实数根，
而 t ≥ 2，
∴ 关于t 的方程at²+bt+c=0有不小于2的实数根，
① 若只有一个不小于2的实数根 t0 ，那么
原方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0的实数根必满足
(f(x)= t0 ，即满足x²+2x+3= t0 ， 因此：
⑴ 当 t0=2时 ，方程x²+2x+3= t0 只有一个实数根
—1，也就是原方程的实数根只有一个x=—1;
⑵ 当t0＞2时，方程x²+2x+3= t0 有两个不等实数根
X1， X 2 且 X1+X 2=—2，也就是原方程的两个不等
实数根之和为—2
② 若有两个不小于2的不等实数根 t1 ，t2，那么
原方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0的实数根必满足
f(x)= t1 或 f(x)= t2，
即满足x²+2x+3= t1 或 x²+2x+3= t2，而t1 ，t2中
最多只有一个等于2 ， 因此：
⑴ 当 t1 ，t2中恰有一个等于2 时 ，由①的分析知
方程x²+2x+3= t1 与 x²+2x+3= t2 共有三个实数根
且三根之和为—3，也就是原方程的三个实根之和为—3;
⑵当t1，t2都大于2 时，由①的分析知方程x²+2x+3= t1
与 x²+2x+3= t2 共有四个实数根，且四根之和为—4，
也就是原方程的三个实根之和为—4.
综上所述，原方程的不同实数根的和的所有可能值是
—1， —2 ，—3 ，—4
第二题：显然题目错了，因为当 x≥1+a 时，
f(x)=—x²+2（1+a）x-|x-2|+4 的值不可能非负。

也许题目是这样的？
“若对于任意实数x，函数f(x)=x²-2x|x-1-a|-|x-2|+4的值均为非负，则实数a的最小值为？”其中第一个绝对值前的“ 2x”是“2乘以”？
如此解答如下：
因为当f(x)=x²-2|x-1-a|-|x-2|+4的值非负，
所以x∈R 时，x²- |x-2| +4≥2|x-1-a|恒成立，
设 ：h(x)=2 |x-1-a | ，则其图像是顶点（1+a，0）在x轴上移动的斜率为±2的V形曲线，
再设g(x)=x²-|x-2|+4 , 则x≥2 时g(x)=x²-x+6 ； x＜2时g(x)=x²+x+2
如图，由数形结合可知，只需找x＜2时g(x)=x²+x+2的切线，
由g′(x)=±2 得x =1/2或 x=-3/2，
x =1/2时切线方程为y=2 x +1.75,(可以验证此时g(x) ≥2 x +1.75)，令 y=0 得 x=-0.875 即 ：1+a=-0.875， 于是h(x)=2 |x+0.875 | ;
x =-3/2时切线方程为y=-2 x -0.25,令 y=0 得 x=-0.125
即 1+a=-0.125; 故 a 的最小值是-1.875.
（不好意思，我今天画不了图，请自己画出两个函数图像和这两个V形）

Answer 2

问题不完整？

Answer 3

解：由f(x)=x²+2x+3知 f(x)≥2，
所以：a(f(x))²+b(f(x))+c=0有两不同实数根x1,x2,且x2>x1的条件是
x1+x2=-b/a>4, x1*x2=c>4, b²-4ac>0
从x1+x2=-b/a>4看出，该方程的不同实数根的和大于4。