Question

根据数列的极限定义证明 ？

Answer 1

(2)。证明：不论预先给定的正数怎么小，由∣(3n+1)/(2n+1)-3/2∣=∣-1/2(2n+1)∣
=1/2(2n+1)<1/4n<1/n<ξ，可知存在N=[1/n]，当n≧N时恒有∣(3n+1)/(2n+1)-3/2∣<ξ，故n→∞lim[(3n+1)/(2n+1)-3/2]=3/2.
(4)。lim0.9999.......9.......=1
证明：0.9999......9=1-1/10^n，0.9999.....9...........=n→∞lim(1-1/10^n)
不论预先给定的正数怎么小,由 ∣(1-1/10^n)-1∣=∣-1/10^n∣=1/10^n<ξ，得
10^n>1/ξ，n>lg(1/ξ)【0<ξ<1】，可知存在N=[lg(1/ξ)，当n≧N时，不等式
∣(1-1/10^n)-1∣<ξ恒成立，∴lim0.9999.......9.......=1。