Question

根据数列极限定义证明

Answer 1

要从定义证明一数列的极限，首先你要明白数列极限的定义是什么：
设数列为xn，如果对任意的ε，都存在n（n一般与ε有关），使得当n>n时，都有|xn-a|<ε，则我们称xn的极限为a，记为lim(n->无穷)
xn
=
a。
证明的关键点在于：如何找出满足条件的n。
一般我们采取这样的方法：
若|xn-a|<ε成立，找出n与a，ε的关系，进而确定n，里面一般会用到一些不等式放缩的技巧。

Answer 2

用极限定义证明：n→∞lim[√(n²+1)-n]=0
证明：不论预先给定的正数ξ怎么小，由∣√(n²+1)-n-0∣=√(n²+1)-n=1/[√(n²+1)+n]
<1/(2n)<1/n<ξ，得n>1/ξ；即存在N=[1/ξ]，当n>N时，恒有√(n²+1)-n<ξ；
故n→∞lim[√(n²+1)-n]=0得证。