Question

如图,点P在矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和

如图,点P在矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是多少

详细过程,谢谢了,过程

Answer 1

对角线AC和BD交点为O，得三角AOD。矩形ABCD，AB,BC的长分别为3和4，得三角AOD为边长AO=DO=2.5，AD=4；角OAD=角ODA=30度，角AOD=120度的等边三角。求AD动点P到边AO+边DO的距离和。P到对角线AC距离=P到边AO距离=3/5*AP，P到对角线BD距离=P到边DO距离=3/5*DP，P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和=点P到边AO+边DO的距离和=3/5*AP+3/5*DP=3/5*（AP+DP）=3/5*AD=3/5*4=2.4

Answer 2

做PE⊥AC于E，PF⊥BD于F
做DM⊥AC于M，PN⊥DM于N
则PEMN构成一个新矩形
PE=MN......(1)

∵AB=DC，AD=DA，∠A=∠D=90°
∴△ABD ≌ △DCA
∴∠BDA=∠CAD
又：PN‖AC
∴∠NPD=∠CAD
即：∠NPD=∠PDF

∵PF⊥DF，PN⊥DN
∴∠NPF=∠FDN
又：∠NPD=∠PDF，∠FPD=∠NPD+∠NPF，∠PDN=∠PDF+∠FDN
∴∠FPD=∠PDN

∵PD=DP，∠NPD=∠PDF，∠FPD=∠PDN
∴△FPD ≌ △PDN
∴PF=DN......（2）

∴PE+PF=MN+DN=DM.......（3）

AD=BC=4，CD=AB=3
AC=根号(AD^2+DC^2)=根号(4^2+3^2)=5

∵∠DCM=∠ACD，∠DMC=∠ADC=90°
∴△ DCM ∽ △ ACD
∴DM/AD=DC/AC
DM=AD*DC/AC=4*3/5=12/5

∴PE+PF=DM = 12/5