Question

已知AD是三角形ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于E，交BC的延长线于F 求证①角B=角F

已知AD是三角形ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于E，交BC的延长线于F
求证①角B=角FAC
②DE平行AC

Answer 1

1. 连结AF
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD
因为EF是AD的垂直平分线，所以FA＝FD
所以∠FDA＝∠FAD
因为∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠FDA＝∠B＋∠BAD
所以∠B＝∠FAC

2. 由1知，FA＝FD
EF＝EF(公共边)
又因为EF垂直平分AD
所以∠DFE＝∠AFE
所以△DFE≌△AFE
所以∠DEF＝∠AEF
又因为AD⊥EF且AD平分∠BAC
所以∠AEO＝∠AOE(O为AC和EF的交点)
所以∠DEF＝∠AOE
所以DE∥AC.

Answer 2

因为EF是AD的垂直平分线，所以∠B+∠BAD=∠ADF=∠DAF=∠DAC+∠FAC而且∠EAD=∠EDA;
因为AD平分∠BAC，所以∠EDA=∠EAD=∠BAD=∠DAC，所以∠B=∠FAC而且DE∥AC