Question

已知如图，P为等边△ABC内的一点，∠APC=150°，∠BPC=120°，PC=10，求等边△ABC的边长及PA、PB的长

Answer 1

将△CPB绕点B逆时针旋转60°得△ABP′
连接PP′
∴BP′=BP,∠P′BP=60°,∠AP′B=∠CPB=120°,CP=CP′
∴△BP′P是等边三角形
∴∠BPP′=60°
∵∠APC=150°,∠BPC=120°
∴∠APB=90°
∴∠APP′=∠APB-∠BPP′
=90°-60°
=30°
∵四边形AP′BP内角度数和为360°
∴∠P′AP=90°
在Rt△AP′P中：
PP′=2AP′
=2CP
=20
根据勾股定理得：
AP²=√（P′P²-PA²）----------要把括号里的数全根号起来
=10√3
∵△BPP′是等边三角形
∴BP=PP′=20
在Rt△ABP中：
AB=√(AP²+BP²)
=10√7

∴等边△ABC的边长为10√7，PA长10√3，PB长20